Чтобы вычислить интеграл ∫₁⁴ (1/√(x²-4)³) dx, следуем следующим шагам:

1. Проверим область определения функции под интегралом. Функция 1/√(x²-4) определена, когда x² - 4 > 0, что означает, что x < -2 или x > 2. Мы видим, что пределы интегрирования от 1 до 4, и в этом интервале функция определена только для x > 2.
2. Разобьем интеграл на два интервала: Поскольку функция не определена на интервале от 1 до 2, мы можем записать интеграл как:
   • ∫₁² (1/√(x²-4)³) dx - этот интеграл не определен, так как функция не существует на этом интервале.
   • ∫₂⁴ (1/√(x²-4)³) dx - этот интеграл определен, и мы можем его вычислить.
3. Вычислим интеграл ∫₂⁴ (1/√(x²-4)³) dx. Для этого сделаем замену переменной. Пусть:
   • x = 2sec(θ), тогда dx = 2sec(θ)tan(θ)dθ.
   • При x = 2, θ = 0; при x = 4, θ = π/3.
4. Подставим в интеграл:
   • √(x² - 4) = √(4sec²(θ) - 4) = 2tan(θ).
   • Таким образом, интеграл превращается в:
   • ∫ (1/(2tan(θ))³) * (2sec(θ)tan(θ)dθ).
5. Упростим выражение:
   • ∫ (1/8tan²(θ)sec(θ)) dθ.
   • Это можно записать как:
   • 1/8 ∫ sec(θ) * csc²(θ) dθ.
6. Используем интеграл sec(θ) * csc²(θ): Мы знаем, что интеграл sec(θ) * csc²(θ) = -sec(θ) + C.
7. Вычисляем пределы интегрирования:
   • При θ = 0: -sec(0) = -1.
   • При θ = π/3: -sec(π/3) = -2.
8. Подставляем пределы:
   • 1/8 * [-2 - (-1)] = 1/8 * (-2 + 1) = -1/8.

Таким образом, значение интеграла ∫₁⁴ (1/√(x²-4)³) dx равно -1/8.