Какое минимальное значение функции y=x³−x²−8x+4 можно определить на интервале [1; 7]?

Алгебра 9 класс Оптимизация функций минимальное значение функции y=x³−x²−8x+4 интервал [1; 7] алгебра 9 класс нахождение минимума функции Новый

Чтобы найти минимальное значение функции y = x³ - x² - 8x + 4 на интервале [1; 7], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

Производная функции y будет равна:

y' = 3x² - 2x - 8

2. Найти критические точки.

Для этого нужно решить уравнение y' = 0:

3x² - 2x - 8 = 0

Используем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 3 * (-8) = 4 + 96 = 100

Теперь находим корни:

x1 = (2 + √100) / (2 * 3) = (2 + 10) / 6 = 12 / 6 = 2

x2 = (2 - √100) / (2 * 3) = (2 - 10) / 6 = -8 / 6 = -4/3

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 2 (вторая точка x = -4/3 находится вне интервала [1; 7]).

3. Выяснить значение функции в критической точке и на границах интервала.

Теперь мы вычислим значение функции y в критической точке и на границах интервала:

• y(1) = 1³ - 1² - 8*1 + 4 = 1 - 1 - 8 + 4 = -4
• y(2) = 2³ - 2² - 8*2 + 4 = 8 - 4 - 16 + 4 = -8
• y(7) = 7³ - 7² - 8*7 + 4 = 343 - 49 - 56 + 4 = 242
4. Сравнить все найденные значения.

Теперь сравним значения:

• y(1) = -4
• y(2) = -8
• y(7) = 242
5. Определить минимальное значение.

Минимальное значение функции на интервале [1; 7] равно -8 и достигается в точке x = 2.

Ответ: Минимальное значение функции на интервале [1; 7] равно -8.