Какова разность квадратов корней приведённого квадратного уравнения, если она равна 24, а второй коэффициент этого уравнения равен 2? Какой свободный член уравнения в этом случае?

Алгебра 9 класс Квадратные уравнения разность квадратов корни квадратное уравнение 9 класс алгебра второй коэффициент свободный член уравнение математическая задача решение уравнения Новый

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение вида:

x² + bx + c = 0

где b - второй коэффициент, а c - свободный член. В данном случае нам известно, что:

• Разность квадратов корней уравнения равна 24.
• Второй коэффициент (b) равен 2.

Обозначим корни уравнения как x₁ и x₂. Разность квадратов корней можно выразить через самих корней:

x₁² - x₂² = (x₁ - x₂)(x₁ + x₂)

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения x² + bx + c = 0, сумма корней x₁ + x₂ равна -b, а произведение корней x₁ * x₂ равно c. В нашем случае:

• x₁ + x₂ = -b = -2
• x₁ * x₂ = c

Теперь подставим известные значения в формулу разности квадратов:

x₁² - x₂² = (x₁ - x₂)(x₁ + x₂)

Для нахождения разности корней x₁ - x₂, воспользуемся формулой:

x₁ - x₂ = √((x₁ + x₂)² - 4 * x₁ * x₂)

Подставим значения:

• x₁ + x₂ = -2
• 4 * x₁ * x₂ = 4c

Таким образом, разность квадратов корней равна:

24 = (x₁ - x₂)(-2)

Отсюда следует:

x₁ - x₂ = -12

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для нахождения c:

24 = (-12)(-2)

Перепишем уравнение:

24 = 24

Теперь подставим значения в формулу разности квадратов:

24 = (√((-2)² - 4c))(-2)

Решим это уравнение:

24 = 2√(4 - 4c)

Разделим обе стороны на 2:

12 = √(4 - 4c)

Возведем обе стороны в квадрат:

144 = 4 - 4c

Решим это уравнение для c:

• 4c = 4 - 144
• 4c = -140
• c = -35

Таким образом, свободный член уравнения равен -35.