Каковы область определения и область значения для функции y = 1/(1 + ctg^2 x)?

Алгебра 9 класс Функции и их свойства область определения функции область значения функции y = 1/(1 + ctg^2 x) алгебра 9 класс функции в алгебре Новый

Чтобы определить область определения и область значения функции y = 1/(1 + ctg^2 x), давайте сначала разберемся с функцией и её компонентами.

1. Область определения:

• Функция ctg(x) определена для всех x, кроме тех, где sin(x) = 0, то есть для x = kπ, где k - любое целое число.
• Кроме того, в знаменателе функции y у нас есть выражение 1 + ctg^2(x). Это выражение никогда не может быть равно нулю, так как ctg^2(x) всегда неотрицательно (ctg(x) - это косекант, и его квадрат всегда ≥ 0).
• Таким образом, 1 + ctg^2(x) всегда > 1, что означает, что проблем с делением на ноль нет.

Таким образом, область определения функции y включает все действительные числа, кроме kπ, где k - целое число:

Область определения: x ∈ R, x ≠ kπ (k ∈ Z).

2. Область значения:

• Теперь рассмотрим область значения функции. Мы знаем, что ctg^2(x) ≥ 0, следовательно, 1 + ctg^2(x) ≥ 1.
• Это означает, что y = 1/(1 + ctg^2(x)) будет принимать значения, которые меньше или равны 1.
• Когда ctg^2(x) = 0 (что происходит, когда x = (2k + 1)π/2, k ∈ Z), y будет равно 1.
• Когда ctg^2(x) стремится к бесконечности (что происходит, когда x приближается к kπ), y будет стремиться к 0.

Таким образом, область значения функции y будет от 0 до 1, не включая 0:

Область значения: 0 < y ≤ 1.

Итак, подводя итог:

• Область определения: x ∈ R, x ≠ kπ (k ∈ Z).
• Область значения: 0 < y ≤ 1.