Каковы все решения уравнения:

(sin^2x + 1)cosx = 2 - cos^2x?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрических функций решения уравнения алгебра 9 класс тригонометрические уравнения синус косинус алгебраические методы нахождение корней решение уравнений математические уравнения свойства тригонометрии Новый

Для решения уравнения (sin^2x + 1)cosx = 2 - cos^2x начнем с упрощения и преобразования обеих сторон уравнения.

Сначала вспомним, что sin^2x + cos^2x = 1. Это позволяет нам выразить sin^2x через cos^2x:

• sin^2x = 1 - cos^2x

Теперь подставим это выражение в уравнение:

(1 - cos^2x + 1)cosx = 2 - cos^2x

Упростим левую часть:

• (2 - cos^2x)cosx = 2 - cos^2x

Теперь у нас есть:

(2 - cos^2x)cosx = 2 - cos^2x

Переносим все на одну сторону уравнения:

(2 - cos^2x)cosx - (2 - cos^2x) = 0

Вынесем общий множитель:

(2 - cos^2x)(cosx - 1) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. 2 - cos^2x = 0

Решим это уравнение:

• cos^2x = 2

Так как значение cos^2x не может быть больше 1, этот случай не имеет решений.

2. cosx - 1 = 0

Решим это уравнение:

• cosx = 1

Это уравнение выполняется, когда:

• x = 2πn, где n - любое целое число.

Таким образом, все решения исходного уравнения:

x = 2πn, где n - любое целое число.