Объясните тему "Квадратные уравнения":

1. Стандартная запись кв. уравнения ax^2+bx+c=0, a≠0. Почему уравнение равно нулю, любое квадратное уравнение равно нулю? Почему запись именно такая? Мы пишем, что a не равно нулю, так как тогда уравнение станет линейным. Но почему мы так же не пишем, что x≠0? Это из-за того, что x неизвестное?
2. Почему при выводе дискриминанта мы заменяем именно выражение b^2-4ac (на фото обвёл красным)? Что такое дискриминант и в чём его смысл (простыми словами)?
3. Как доказать, что если x1, x2 - корни квадратного трёхчлена ax^2+bx+c, то ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)?

Алгебра 9 класс Квадратные уравнения Квадратные уравнения стандартная запись уравнения дискриминант корни квадратного уравнения алгебраические выражения свойства квадратных уравнений решение квадратных уравнений факторы квадратного трёхчлена объяснение дискриминанта доказательство квадратного уравнения Новый

Тема "Квадратные уравнения" является одной из ключевых в алгебре, и давайте разберем её по порядку.

1. Стандартная запись квадратного уравнения

Квадратное уравнение записывается в виде:

ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Здесь:

• a, b и c - это коэффициенты, причем a не может быть равным нулю, потому что в этом случае уравнение перестает быть квадратным и становится линейным (bx + c = 0).
• x - это переменная, которую мы хотим найти.

Уравнение равно нулю, потому что мы ищем такие значения x, при которых выражение ax^2 + bx + c становится равным нулю. Это позволяет нам находить корни уравнения.

Что касается x, его значение может быть любым, и мы не ограничиваем его, потому что это переменная, которую мы хотим определить. В отличие от a, b и c, которые являются известными значениями (коэффициентами), x - это то, что мы ищем.

2. Дискриминант

Дискриминант D квадратного уравнения определяется как:

D = b^2 - 4ac.

Этот дискриминант важен, потому что он помогает определить количество и тип корней уравнения:

• Если D > 0, у уравнения два различных действительных корня.
• Если D = 0, у уравнения один двойной корень (корни совпадают).
• Если D < 0, у уравнения нет действительных корней (корни комплексные).

Мы заменяем именно выражение b^2 - 4ac, потому что это выражение позволяет нам сравнивать значения и определять, как уравнение поведет себя в зависимости от значений a, b и c.

3. Доказательство связи корней и квадратного трехчлена

Если x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c, то мы можем показать, что:

ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

Это можно доказать следующим образом:

1. Распишем правую часть уравнения:
2. a(x - x1)(x - x2) = a(x^2 - (x1 + x2)x + x1*x2).
3. Теперь, если обозначить S = x1 + x2 (сумма корней) и P = x1*x2 (произведение корней), то у нас получится:
4. a(x^2 - Sx + P) = ax^2 - aSx + aP.
5. Сравнив с ax^2 + bx + c, мы видим, что b = -aS и c = aP.

Таким образом, мы доказали, что квадратный трехчлен может быть представлен в виде произведения, используя его корни.

Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять квадратные уравнения!