Похожие вопросы
2025-01-29 11:40:11
Помогите, пожалуйста, решить уравнение: 25 в степени x минус 10 умножить на 5 в степени (x минус 1) минус 15 равно 0.
Алгебра 9 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение алгебра 9 класс решение уравнения 25 в степени x 5 в степени (x минус 1) математические задачи Помощь с алгеброй
2025-01-29 11:40:33
Давайте решим уравнение: 25 в степени x минус 10 умножить на 5 в степени (x минус 1) минус 15 равно 0. Записать его можно так:
25^x - 10 * 5^(x - 1) - 15 = 0.
Первым шагом мы заметим, что 25 можно представить как 5 в квадрате, то есть 25 = 5^2. Подставим это в уравнение:
5^(2x) - 10 * 5^(x - 1) - 15 = 0.
Теперь упростим второй член уравнения. 5^(x - 1) можно записать как 5^x / 5, следовательно:
5^(2x) - 10 * (5^x / 5) - 15 = 0.
Упростим это выражение:
5^(2x) - 2 * 5^x - 15 = 0.
Теперь давайте сделаем замену переменной. Обозначим 5^x как y. Тогда 5^(2x) = (5^x)^2 = y^2. Подставим это в уравнение:
y^2 - 2y - 15 = 0.
Теперь у нас получилось квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:
Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -2, c = -15.
- D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64.
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
- y1,2 = (-b ± √D) / (2a).
Подставляем значения:
- y1,2 = (2 ± √64) / 2 = (2 ± 8) / 2.
Теперь найдем два корня:
- y1 = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5,
- y2 = (2 - 8) / 2 = -6 / 2 = -3.
Теперь вернемся к нашей замене. Помним, что y = 5^x. Рассмотрим корни:
- Для y1 = 5: 5^x = 5. Это уравнение имеет решение x = 1.
- Для y2 = -3: 5^x не может быть отрицательным, следовательно, это значение не подходит.
Таким образом, единственное решение нашего уравнения:
x = 1.