При каких значениях параметра p уравнение

X^2 - 2(p - 1)x + 4p^2 = 0

имеет не более одного корня?

Алгебра 9 класс Уравнения с параметрами значения параметра p уравнение X^2 - 2(p - 1)x + 4p^2 не более одного корня алгебра 9 класс условия для корней уравнения Новый

Чтобы определить, при каких значениях параметра p уравнение X^2 - 2(p - 1)x + 4p^2 = 0 имеет не более одного корня, нам нужно проанализировать дискриминант этого квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет не более одного корня, когда его дискриминант равен нулю или меньше нуля. Дискриминант D для уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

• a = 1
• b = -2(p - 1)
• c = 4p^2

Теперь подставим значения a, b и c в формулу для дискриминанта:

D = [-2(p - 1)]^2 - 4 * 1 * 4p^2

Упростим это выражение:

1. Вычислим [-2(p - 1)]^2:
• [-2(p - 1)]^2 = 4(p - 1)^2 = 4(p^2 - 2p + 1)
2. Теперь подставим это в формулу для D:
• D = 4(p^2 - 2p + 1) - 16p^2
3. Упростим это выражение:
• D = 4p^2 - 8p + 4 - 16p^2
• D = -12p^2 - 8p + 4

Теперь мы хотим, чтобы D было меньше или равно нуля:

-12p^2 - 8p + 4 ≤ 0

Умножим неравенство на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

12p^2 + 8p - 4 ≥ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 12p^2 + 8p - 4 = 0 с помощью дискриминанта:

D' = b'^2 - 4a'c' = 8^2 - 4 * 12 * (-4) = 64 + 192 = 256

Корни уравнения:

• p1 = (-8 + sqrt(256)) / (2 * 12) = (-8 + 16) / 24 = 8 / 24 = 1/3
• p2 = (-8 - sqrt(256)) / (2 * 12) = (-8 - 16) / 24 = -24 / 24 = -1

Теперь мы имеем два корня p1 = 1/3 и p2 = -1. Чтобы определить, при каких значениях p неравенство 12p^2 + 8p - 4 ≥ 0 выполняется, проанализируем знак многочлена:

Многочлен имеет параболическую форму, открывающуюся вверх, так как коэффициент при p^2 положителен (12). Теперь мы можем определить интервалы:

Неравенство будет выполняться вне интервала между корнями:

p ≤ -1 или p ≥ 1/3

Таким образом, уравнение X^2 - 2(p - 1)x + 4p^2 = 0 имеет не более одного корня при значениях параметра:

p ≤ -1 или p ≥ 1/3