Для решения уравнения x³ + x² - 4x + 2 = 0 мы будем использовать метод проб и деления, чтобы найти корни уравнения. Давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить.

1. Найдем возможные рациональные корни.

   По теореме о рациональных корнях, возможные корни уравнения могут быть делителями свободного члена (в данном случае 2) и делителями старшего коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, возможные корни: ±1, ±2.

2. Проверим возможные корни.

   Подставим возможные корни в уравнение и посмотрим, при каком значении уравнение равно нулю.

   • Для x = 1:

     1³ + 1² - 4*1 + 2 = 1 + 1 - 4 + 2 = 0.

     Итак, x = 1 - это корень уравнения.

   • Для x = -1:

     (-1)³ + (-1)² - 4*(-1) + 2 = -1 + 1 + 4 + 2 = 6.

     Это не корень.

   • Для x = 2:

     2³ + 2² - 4*2 + 2 = 8 + 4 - 8 + 2 = 6.

     Это не корень.

   • Для x = -2:

     (-2)³ + (-2)² - 4*(-2) + 2 = -8 + 4 + 8 + 2 = 6.

     Это не корень.

3. Разделим многочлен на (x - 1).

   Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разделить исходный многочлен на (x - 1) с помощью деления многочленов.

   После деления мы получим:

   x³ + x² - 4x + 2 = (x - 1)(x² + 2x - 2).

4. Решим квадратное уравнение x² + 2x - 2 = 0.

   Для решения этого уравнения используем дискриминант:

   D = b² - 4ac = 2² - 4*1*(-2) = 4 + 8 = 12.

   Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

   x = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± √12) / 2 = (-2 ± 2√3) / 2 = -1 ± √3.

Итак, все корни уравнения:

• x₁ = 1,
• x₂ = -1 + √3,
• x₃ = -1 - √3.

Таким образом, у уравнения x³ + x² - 4x + 2 = 0 три корня: 1, -1 + √3 и -1 - √3.