Давайте решим каждое из данных уравнений по порядку. Мы будем использовать формулу дискриминанта, чтобы определить, есть ли у уравнения корни и как их найти.

Общая форма квадратного уравнения: ax² + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

Формула дискриминанта: D = b² - 4ac. Если D > 0, у уравнения два различных корня. Если D = 0, у уравнения один корень (двойной корень). Если D < 0, у уравнения нет действительных корней.

1. Уравнение 7.11: 8x² - 12x + 36 = 0
• Коэффициенты: a = 8, b = -12, c = 36.
• Находим дискриминант: D = (-12)² - 4 * 8 * 36 = 144 - 1152 = -1008.
• Поскольку D < 0, у уравнения нет действительных корней.
2. Уравнение 7.12: -x² - 6x + 19 = 0
• Коэффициенты: a = -1, b = -6, c = 19.
• Находим дискриминант: D = (-6)² - 4 * (-1) * 19 = 36 + 76 = 112.
• Поскольку D > 0, у уравнения два различных корня.
• Находим корни: x1 = (-b + √D) / (2a) и x2 = (-b - √D) / (2a).
• Подставляем значения: x1 = (6 + √112) / (-2) и x2 = (6 - √112) / (-2).
• Упрощаем: √112 = 4√7, тогда x1 = (6 + 4√7) / (-2) и x2 = (6 - 4√7) / (-2).
• Получаем: x1 = -3 - 2√7 и x2 = -3 + 2√7.
3. Уравнение 7.13: 3x² + 32x + 80 = 0
• Коэффициенты: a = 3, b = 32, c = 80.
• Находим дискриминант: D = (32)² - 4 * 3 * 80 = 1024 - 960 = 64.
• Поскольку D > 0, у уравнения два различных корня.
• Находим корни: x1 = (-32 + √64) / (2 * 3) и x2 = (-32 - √64) / (2 * 3).
• Подставляем значения: x1 = (-32 + 8) / 6 и x2 = (-32 - 8) / 6.
• Упрощаем: x1 = -24 / 6 = -4 и x2 = -40 / 6 = -20/3.
4. Уравнение 7.14: x² - 34x + 289 = 0
• Коэффициенты: a = 1, b = -34, c = 289.
• Находим дискриминант: D = (-34)² - 4 * 1 * 289 = 1156 - 1156 = 0.
• Поскольку D = 0, у уравнения один корень (двойной корень).
• Находим корень: x = -b / (2a) = 34 / 2 = 17.

Итак, подводя итоги:

• Уравнение 7.11: нет действительных корней.
• Уравнение 7.12: два корня -3 - 2√7 и -3 + 2√7.
• Уравнение 7.13: два корня -4 и -20/3.
• Уравнение 7.14: один корень 17.

Решим предложенные квадратные уравнения по порядку. Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты уравнения. Для решения таких уравнений мы будем использовать дискриминант D, который вычисляется по формуле D = b² - 4ac.

Здесь a = 8, b = -12, c = 36.

• Вычисляем дискриминант:
• D = (-12)² - 4 * 8 * 36 = 144 - 1152 = -1008.

Так как D < 0, у уравнения нет действительных корней. Ответ: нет действительных корней.

Здесь a = -1, b = -6, c = 19.

• Вычисляем дискриминант:
• D = (-6)² - 4 * (-1) * 19 = 36 + 76 = 112.

Так как D > 0, у уравнения два различных действительных корня. Находим корни по формуле:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (6 + √112) / (-2) = (6 + 4√7) / (-2) = -3 - 2√7;
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (6 - √112) / (-2) = (6 - 4√7) / (-2) = -3 + 2√7.

Ответ: x₁ = -3 - 2√7, x₂ = -3 + 2√7.

Здесь a = 3, b = 32, c = 80.

• Вычисляем дискриминант:
• D = (32)² - 4 * 3 * 80 = 1024 - 960 = 64.

Так как D > 0, у уравнения два различных действительных корня. Находим корни:

• x₁ = (-32 + √64) / (2 * 3) = (-32 + 8) / 6 = -24 / 6 = -4;
• x₂ = (-32 - √64) / (2 * 3) = (-32 - 8) / 6 = -40 / 6 = -20/3.

Ответ: x₁ = -4, x₂ = -20/3.

Здесь a = 1, b = -34, c = 289.

• Вычисляем дискриминант:
• D = (-34)² - 4 * 1 * 289 = 1156 - 1156 = 0.

Так как D = 0, у уравнения один действительный корень. Находим корень:

• x = -b / (2a) = 34 / 2 = 17.

Ответ: x = 17.

Таким образом, мы получили следующие результаты:

• Уравнение 1: нет действительных корней;
• Уравнение 2: x₁ = -3 - 2√7, x₂ = -3 + 2√7;
• Уравнение 3: x₁ = -4, x₂ = -20/3;
• Уравнение 4: x = 17.