Ты ещё тут?

Постройте график функции f(x) = x² + 2x + 3, а затем с его помощью определите:

1. интервалы, где f(x) > 0 и f(x) < 0;
2. область значений этой функции;
3. интервал, на котором функция возрастает.

Алгебра 9 класс Графики функций график функции f(x) = x² + 2x + 3 интервалы f(x) > 0 интервалы f(x) < 0 область значений функции интервал возрастания функции Новый

Да, я здесь! Давайте разберем, как построить график функции f(x) = x² + 2x + 3 и ответить на ваши вопросы шаг за шагом.

Шаг 1: Определение типа функции

Функция f(x) = x² + 2x + 3 является квадратной функцией, так как ее высший член x². График такой функции представляет собой параболу.

Шаг 2: Нахождение координат вершины параболы

Вершина параболы для функции вида f(x) = ax² + bx + c находится по формуле:

• x_верш = -b/(2a)

Где a = 1, b = 2, c = 3. Подставим значения:

• x_верш = -2/(2*1) = -1

Теперь найдем значение функции в этой точке:

• f(-1) = (-1)² + 2*(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, 2).

Шаг 3: Определение направленности параболы

Поскольку коэффициент перед x² (a = 1) положителен, парабола открыта вверх.

Шаг 4: Нахождение корней функции

Чтобы определить интервалы, где f(x) > 0 и f(x) < 0, найдем корни функции, решив уравнение:

• x² + 2x + 3 = 0

Для этого используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 2² - 4*1*3 = 4 - 12 = -8

Поскольку дискриминант отрицательный, у функции нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось x.

Шаг 5: Определение интервалов

Так как парабола открыта вверх и не имеет корней, значение функции f(x) всегда положительно:

• f(x) > 0 для всех x ∈ R (все действительные числа)
• f(x) < 0 не имеет решений (нет таких x)

Шаг 6: Область значений функции

Минимальное значение функции достигается в вершине (-1, 2). Таким образом, область значений функции:

• y ≥ 2

Шаг 7: Интервал, на котором функция возрастает

Функция f(x) = x² + 2x + 3 возрастает на интервале, который начинается с вершины параболы:

• Интервал: (-1, +∞)

Итак, подводя итоги:

• Интервалы, где f(x) > 0: все действительные числа (R)
• Интервал, где f(x) < 0: нет таких x
• Область значений функции: y ≥ 2
• Интервал, на котором функция возрастает: (-1, +∞)

Теперь вы знаете, как анализировать квадратные функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.