Для вычисления предела lim(z → 0) (sin(tan(z)) - tan(sin(z))) / z^7, начнем с анализа поведения функций sin и tan при z, стремящемся к 0.

1. Напомним, что при малых значениях z можно использовать разложение в ряд Тейлора для функций sin и tan:

• sin(z) ≈ z - z^3/6 + z^5/120 - ...
• tan(z) ≈ z + z^3/3 + 2z^5/15 + ...

2. Теперь найдем разложение для tan(z) и sin(z) при z → 0:

• tan(z) ≈ z + z^3/3 + O(z^5)
• sin(z) ≈ z - z^3/6 + O(z^5)

3. Подставим tan(z) в sin(tan(z)):

• tan(z) ≈ z + z^3/3, тогда sin(tan(z)) ≈ sin(z + z^3/3) ≈ (z + z^3/3) - (z + z^3/3)^3/6 + O((z + z^3/3)^5)

4. Разложим sin(tan(z)):

• sin(tan(z)) ≈ z + z^3/3 - (z + z^3/3)^3/6
• ≈ z + z^3/3 - (z^3/6 + z^5/2 + O(z^7))
• ≈ z + (z^3/3 - z^3/6 - z^5/2) + O(z^7)
• ≈ z + z^3/6 - z^5/2 + O(z^7)

5. Теперь найдем tan(sin(z)):

• sin(z) ≈ z - z^3/6, тогда tan(sin(z)) ≈ tan(z - z^3/6) ≈ (z - z^3/6) + (z - z^3/6)^3/3

6. Разложим tan(sin(z)):

• tan(sin(z)) ≈ z - z^3/6 + (z - z^3/6)^3/3
• ≈ z - z^3/6 + (z^3/3 - z^5/6 + O(z^7))
• ≈ z + z^3/6 - z^5/6 + O(z^7)

7. Теперь подставим результаты в предел:

(sin(tan(z)) - tan(sin(z))) ≈ (z + z^3/6 - z^5/2) - (z + z^3/6 - z^5/6)

8. Упростим выражение:

• sin(tan(z)) - tan(sin(z)) ≈ -z^5/2 + z^5/6
• ≈ -z^5/2 + z^5/6 = -3z^5/6 + z^5/6 = -2z^5/6 = -z^5/3

9. Теперь подставим это в предел:

lim(z → 0) (-z^5/3) / z^7 = lim(z → 0) (-1/3) / z^2 = 0

Ответ: Предел равен 0.