Знаменатель геометрической прогрессии равен корень из 3. При каком натуральном n сумма первых 2n членов этой прогрессии будет в 82 раза больше суммы первых n её членов?

Алгебра 9 класс Геометрическая прогрессия алгебра 9 класс Геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии корень из 3 натуральное n Новый

Давайте рассмотрим задачу о геометрической прогрессии. Обозначим:

• a - первый член прогрессии,
• q - знаменатель прогрессии, который равен корень из 3.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q), если q не равно 1.

В нашем случае, сумма первых n членов будет:

S_n = a * (1 - (корень из 3)^n) / (1 - корень из 3).

Сумма первых 2n членов прогрессии будет:

S_2n = a * (1 - (корень из 3)^(2n)) / (1 - корень из 3).

По условию задачи, сумма первых 2n членов должна быть в 82 раза больше суммы первых n членов:

S_2n = 82 * S_n.

Подставим выражения для S_2n и S_n в это уравнение:

a * (1 - (корень из 3)^(2n)) / (1 - корень из 3) = 82 * (a * (1 - (корень из 3)^n) / (1 - корень из 3)).

Так как a и (1 - корень из 3) не равны нулю, мы можем их сократить:

1 - (корень из 3)^(2n) = 82 * (1 - (корень из 3)^n).

Теперь упростим уравнение:

1 - 3^n = 82 - 82 * (корень из 3)^n.

Переносим все члены в одну сторону:

3^n - 82 * (корень из 3)^n + 81 = 0.

Обозначим (корень из 3)^n как x. Тогда у нас получится:

x^2 - 82x + 81 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-82)^2 - 4 * 1 * 81 = 6724 - 324 = 6400.

Теперь находим корни уравнения:

x = (82 ± √6400) / 2 = (82 ± 80) / 2.

Это дает нам два значения:

• x1 = (162) / 2 = 81,
• x2 = (2) / 2 = 1.

Теперь вернемся к переменной x = (корень из 3)^n:

• (корень из 3)^n = 81 => (корень из 3)^n = (3^4) => n = 8,
• (корень из 3)^n = 1 => n = 0 (не натуральное число).

Таким образом, единственное натуральное значение n, при котором выполняется условие задачи, равно 8.

Ответ: n = 8.