Как можно определить общее решение дифференциального уравнения y'+y-2y = 0 и частное решение этого уравнения, принимая во внимание условия y(0) = 2, y = 2, x = 0?

Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения общее решение дифференциального уравнения частное решение уравнения условия y(0) = 2 алгебра Дифференциальные уравнения Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение y' + y - 2y = 0, сначала упростим его. Объединим подобные члены:

Шаг 1: Упростим уравнение

y' - y = 0

Теперь мы имеем простое линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Это уравнение можно решить методом разделения переменных или с использованием интегрирующего множителя.

Шаг 2: Найдем общее решение

Мы можем переписать уравнение в виде:

y' = y

Теперь разделим переменные:

dy/y = dx

Интегрируем обе стороны:

• Интеграл слева: ∫(1/y) dy = ln|y| + C₁
• Интеграл справа: ∫dx = x + C₂

Объединим константы интегрирования:

ln|y| = x + C

Теперь возведем в степень обе стороны, чтобы избавиться от логарифма:

|y| = e^(x + C) = e^x * e^C

Обозначим e^C как K (где K - положительная константа):

y = K * e^x

Таким образом, общее решение имеет вид:

y = K * e^x

Шаг 3: Найдем частное решение с учетом условия y(0) = 2

Теперь подставим начальное условие y(0) = 2:

2 = K * e^0

2 = K * 1

Следовательно, K = 2.

Таким образом, частное решение уравнения будет:

y = 2 * e^x

В итоге, общее решение дифференциального уравнения y' + y - 2y = 0:

y = K * e^x

А частное решение, учитывающее условие y(0) = 2:

y = 2 * e^x