Как решить дифференциальное уравнение (1+4x^3)y" - 12x^2y' = 0?

Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения алгебра Дифференциальные уравнения методы решения математический анализ Новый

Для решения дифференциального уравнения (1 + 4x^3)y" - 12x^2y' = 0, начнем с анализа его структуры. Это уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами.

Шаг 1: Приведение к стандартному виду

Перепишем уравнение в более удобной форме:

(1 + 4x^3)y" = 12x^2y'

Теперь мы можем выразить y" через y':

y" = (12x^2 / (1 + 4x^3))y'

Шаг 2: Замена переменной

В данном случае полезно сделать замену переменной. Обозначим v = y'. Тогда y" = v'. Подставим это в уравнение:

(1 + 4x^3)v' = 12x^2v

Шаг 3: Разделение переменных

Теперь мы можем разделить переменные:

v' / v = (12x^2) / (1 + 4x^3)

Шаг 4: Интегрирование обеих сторон

Интегрируем обе стороны:

• Левая сторона: ∫(v' / v)dx = ln|v| + C1
• Правая сторона: ∫(12x^2 / (1 + 4x^3))dx

Для правой стороны используем замену переменной. Пусть u = 1 + 4x^3, тогда du = 12x^2dx. Таким образом, интеграл становится:

∫(1/u)du = ln|u| + C2 = ln|1 + 4x^3| + C2

Теперь у нас есть:

ln|v| = ln|1 + 4x^3| + C, где C = C2 - C1.

Шаг 5: Возврат к переменной y

Теперь, используя свойство логарифмов, получаем:

v = k(1 + 4x^3), где k = e^C - произвольная константа.

Так как v = y', то:

y' = k(1 + 4x^3).

Шаг 6: Интегрирование для нахождения y

Теперь интегрируем y':

y = ∫k(1 + 4x^3)dx = k(x + x^4) + C3, где C3 - произвольная константа интегрирования.

Шаг 7: Запись общего решения

Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения имеет вид:

y = k(x + x^4) + C3.

Это и есть решение нашего дифференциального уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!