Как найти решение дифференциального уравнения: y'+2y=4x?

Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения y'+2y=4x алгебра 12 класс методы решения уравнений Дифференциальные уравнения Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка вида y' + 2y = 4x, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Привести уравнение к стандартному виду

У нас уже есть уравнение в стандартном виде:

y' + P(x)y = Q(x),

где P(x) = 2 и Q(x) = 4x.

Шаг 2: Найти интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx).

В нашем случае P(x) = 2, следовательно:

1. Вычисляем интеграл:
2. ∫2dx = 2x.
3. Теперь подставляем в формулу интегрирующего множителя:
4. μ(x) = e^(2x).

Шаг 3: Умножить уравнение на интегрирующий множитель

Теперь умножим всё уравнение на μ(x):

e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4xe^(2x).

Левая часть уравнения теперь является производной произведения:

(e^(2x)y)' = 4xe^(2x).

Шаг 4: Интегрировать обе стороны

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫(e^(2x)y)'dx = ∫4xe^(2x)dx.

Левая сторона у нас просто e^(2x)y, а правую сторону нужно интегрировать. Используем метод интегрирования по частям:

1. Выберем u = 4x и dv = e^(2x)dx.
2. Тогда du = 4dx и v = (1/2)e^(2x).
3. Теперь применяем формулу интегрирования по частям: ∫udv = uv - ∫vdu.
4. Это даст нам: 4x*(1/2)e^(2x) - ∫(1/2)e^(2x)*4dx.
5. В результате получаем: 2xe^(2x) - 2e^(2x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 5: Записать общее решение

Теперь подставляем результат интегрирования обратно:

e^(2x)y = 2xe^(2x) - 2e^(2x) + C.

Делим обе стороны на e^(2x):

y = 2x - 2 + Ce^(-2x).

Шаг 6: Записать окончательное решение

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = 2x - 2 + Ce^(-2x),

где C - произвольная константа.