Помогите решить следующее дифференциальное уравнение, пожалуйста:

(x^2+x)ydx+(y^2+1)dy=0

Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение решение уравнения алгебра 12 математический анализ метод решения интегрирование уравнение первого порядка Новый

Для решения данного дифференциального уравнения будем использовать метод разделения переменных. Уравнение имеет вид:

(x^2 + x)ydx + (y^2 + 1)dy = 0.

Сначала перепишем его в более удобной форме:

(x^2 + x)ydx = -(y^2 + 1)dy.

Теперь разделим переменные:

• С одной стороны у нас будут все члены, содержащие x, а с другой - все члены, содержащие y.

Перепишем уравнение так:

ydx / (y^2 + 1) = -dy / (x^2 + x).

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Левую сторону: ∫ (ydx / (y^2 + 1)).
2. Правую сторону: ∫ (-dy / (x^2 + x)).

Для левой стороны, под интегралом можно использовать замену переменной или интегрировать напрямую. Интеграл от (y / (y^2 + 1)) можно решить с помощью подстановки, но в данном случае это можно сделать проще:

∫ (y dx) / (y^2 + 1) = 0.5 * ln(y^2 + 1).

Для правой стороны интеграл от (-1 / (x^2 + x)) можно решить, разложив на простейшие дроби:

-∫ (1 / (x(x + 1))) dx = -∫ (1/x - 1/(x + 1)) dx = -ln|x| + ln|x + 1|.

Теперь у нас есть:

0.5 * ln(y^2 + 1) = -ln|x| + ln|x + 1| + C, где C - произвольная константа.

Теперь мы можем выразить y через x, но это может быть сложно, так как у нас есть логарифмы. Тем не менее, мы можем оставить уравнение в таком виде:

0.5 * ln(y^2 + 1) + ln|x| - ln|x + 1| = C.

Это и будет нашим решением. Если необходимо, можно упростить или преобразовать его дальше, в зависимости от требований задачи.