Как можно решить дифференциальное уравнение y" - 4y' + 3y = 2x + 4?

Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения алгебра y" - 4y' + 3y = 2x + 4 методы решения математические уравнения Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка вида y" - 4y' + 3y = 2x + 4, нам нужно выполнить несколько шагов. Это уравнение состоит из однородной и неоднородной частей. Мы будем решать его поэтапно.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

Сначала решим однородное уравнение, которое получается, если приравнять правую часть к нулю:

y" - 4y' + 3y = 0

Для этого мы используем характеристическое уравнение:

r^2 - 4r + 3 = 0

Решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней:

• r = (4 ± √(4^2 - 4 * 1 * 3)) / (2 * 1)
• r = (4 ± √(16 - 12)) / 2
• r = (4 ± √4) / 2
• r = (4 ± 2) / 2

Таким образом, получаем два корня:

• r1 = 3
• r2 = 1

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C1 * e^(3x) + C2 * e^(x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения

Теперь нам нужно найти частное решение y_p для неоднородного уравнения y" - 4y' + 3y = 2x + 4. Поскольку правая часть является линейной функцией, мы можем попробовать взять частное решение в виде:

y_p = Ax + B, где A и B - постоянные, которые мы определим.

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = A
• y_p'' = 0

Подставим y_p, y_p', y_p'' в исходное неоднородное уравнение:

0 - 4A + 3(Ax + B) = 2x + 4

Упрощаем уравнение:

3Ax + (3B - 4A) = 2x + 4

Теперь приравняем коэффициенты:

• 3A = 2
• 3B - 4A = 4

Из первого уравнения находим A:

A = 2/3.

Теперь подставим A во второе уравнение:

3B - 4(2/3) = 4

3B - 8/3 = 4

3B = 4 + 8/3 = 12/3 + 8/3 = 20/3

B = 20/9.

Таким образом, частное решение:

y_p = (2/3)x + (20/9).

Шаг 3: Запишем общее решение

Общее решение нашего дифференциального уравнения будет равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = y_h + y_p = C1 * e^(3x) + C2 * e^(x) + (2/3)x + (20/9).

Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения y" - 4y' + 3y = 2x + 4.