Похожие вопросы
2025-08-28 20:16:20
Как найти общее решение дифференциального уравнения: y''-y'/x=0?
Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения общее решение Дифференциальное уравнение y''-y'/x=0 алгебра 12 решение уравнения методы решения математический анализ
2025-08-28 20:16:29
Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y'' - y'/x = 0, давайте следовать пошагово:
- Запишем уравнение:
y'' - y'/x = 0
- Перепишем уравнение:
y'' = y'/x
- Заметим, что это уравнение можно решить методом подстановки:
Пусть v = y', тогда y'' = v'. Заменим y' на v:
v' = v/x
- Это уравнение можно решить методом разделения переменных:
Разделим переменные:
dv/v = dx/x
- Интегрируем обе стороны:
∫(1/v) dv = ∫(1/x) dx
ln|v| = ln|x| + C1, где C1 — константа интегрирования.
- Возводим обе стороны в степень:
|v| = e^(ln|x| + C1) = |x| * e^(C1).
Таким образом, v = kx, где k = ±e^(C1) — новая константа.
- Теперь подставим v обратно в y':
y' = kx.
- Интегрируем y':
y = (k/2)x^2 + C2, где C2 — еще одна константа интегрирования.
- Записываем общее решение:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
y = (k/2)x^2 + C2.
Где k и C2 — произвольные константы. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.