Похожие вопросы
2025-09-10 17:23:21
СРОЧНО!! Частица движется по прямой. Перемещение его из фиксированной точки О на х метров в течение 1 секунды дается путем уравнения d²x/dt² = -16x.
- Покажите, что уравнение x = Acos4t + Bsin4t является общим решением данного уравнения.
- Движение х = 2 в момент времени t = 0 и скорость частицы 12 м/с. Найдите значения А и В.
- Найдите движение частицы в момент t = π.
Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения алгебра уравнение движения общие решения движение частицы значения a и b момент времени t скорость частицы перемещение Дифференциальное уравнение решение задачи
2025-09-10 17:23:42
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
1. **Проверка общего решения уравнения**:
У нас есть уравнение движения:
d²x/dt² = -16x.
Это уравнение второго порядка, и его решение может быть представлено в виде:
x(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt),
где ω - это угловая частота. Для нашего уравнения мы можем заметить, что:
-16 = -ω²,
отсюда ω = 4.
Таким образом, общее решение уравнения можно записать как:
x(t) = Acos(4t) + Bsin(4t),
что и требовалось показать.
2. **Нахождение значений A и B**:
Теперь нам нужно использовать начальные условия, чтобы найти значения A и B.
Дано, что:
- x(0) = 2,
- dx/dt(0) = 12 м/с.
Сначала подставим t = 0 в уравнение x(t):
x(0) = Acos(0) + Bsin(0) = A * 1 + B * 0 = A.
Таким образом, A = 2.
Теперь найдем производную x(t):
dx/dt = -4Asin(4t) + 4Bcos(4t).
Подставим t = 0 в производную:
dx/dt(0) = -4A * sin(0) + 4B * cos(0) = 0 + 4B = 12.
Таким образом, 4B = 12, откуда B = 3.
Мы нашли:
- A = 2,
- B = 3.
3. **Нахождение движения частицы в момент t = π**:
Теперь подставим значения A и B в общее решение:
x(t) = 2cos(4t) + 3sin(4t).
Теперь найдем x(π):
x(π) = 2cos(4π) + 3sin(4π).
Мы знаем, что cos(4π) = 1 и sin(4π) = 0, следовательно:
x(π) = 2 * 1 + 3 * 0 = 2.
Таким образом, движение частицы в момент времени t = π равно:
x(π) = 2.
В итоге, мы показали, что уравнение является общим решением, нашли значения A и B, а также определили движение частицы в момент времени t = π.