Чтобы найти частную производную функции z(x, y) = 5x^4y^2 по переменной x, мы будем использовать правило дифференцирования для многочленов. Частная производная по x означает, что мы рассматриваем y как константу и дифференцируем только по x.

Шаги решения:

1. Запишите функцию: z(x, y) = 5x^4y^2.
2. Определите, что y является константой: При дифференцировании по x мы будем считать y постоянным.
3. Примените правило дифференцирования: Мы знаем, что производная x^n равна n*x^(n-1). В нашем случае:
• n = 4, поэтому производная 5x^4 по x будет 5 * 4 * x^(4-1) = 20x^3.
4. Не забывайте о y²: Поскольку y² является константой, мы просто умножаем на его значение:
• Итак, мы получаем 20x^3 * y^2.

Таким образом, частная производная функции z по x равна: