Найдите частные производные второго порядка функции z = x³y⁴ + ycosx

Другие предметы Колледж Частные производные частные производные математический анализ функция z колледж производные второго порядка Новый

Чтобы найти частные производные второго порядка функции z = x³y⁴ + ycosx, сначала нужно найти частные производные первого порядка по переменным x и y. Затем, используя эти производные, мы найдем частные производные второго порядка.

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка.

• Частная производная z по x:
1. Для нахождения частной производной z по x, рассмотрим только те члены, которые содержат переменную x.
2. Функция z = x³y⁴ + ycosx.
3. Первый член: производная от x³y⁴ по x будет 3x²y⁴.
4. Второй член: производная от ycosx по x будет -ysin(x).
5. Итак, частная производная z по x:
6. ∂z/∂x = 3x²y⁴ - ysin(x).
• Частная производная z по y:
1. Теперь найдем частную производную z по y, рассматривая только те члены, которые содержат y.
2. Первый член: производная от x³y⁴ по y будет 4x³y³.
3. Второй член: производная от ycosx по y будет cosx.
4. Итак, частная производная z по y:
5. ∂z/∂y = 4x³y³ + cos(x).

Шаг 2: Найдем частные производные второго порядка.

• Частная производная второго порядка z по x:
1. Теперь найдем частную производную ∂²z/∂x².
2. Мы берем производную ∂z/∂x = 3x²y⁴ - ysin(x) по x:
3. Производная от 3x²y⁴ по x будет 6xy⁴.
4. Производная от -ysin(x) по x будет -ycos(x).
5. Итак, частная производная второго порядка:
6. ∂²z/∂x² = 6xy⁴ - ycos(x).
• Частная производная второго порядка z по y:
1. Теперь найдем частную производную ∂²z/∂y².
2. Мы берем производную ∂z/∂y = 4x³y³ + cos(x) по y:
3. Производная от 4x³y³ по y будет 12x³y².
4. Производная от cos(x) по y будет 0, так как она не зависит от y.
5. Итак, частная производная второго порядка:
6. ∂²z/∂y² = 12x³y².
• Смешанные производные:
1. Теперь найдем смешанную частную производную ∂²z/∂x∂y.
2. Мы берем производную ∂z/∂x = 3x²y⁴ - ysin(x) по y:
3. Производная от 3x²y⁴ по y будет 12x²y³.
4. Производная от -ysin(x) по y будет -sin(x).
5. Итак, смешанная частная производная:
6. ∂²z/∂x∂y = 12x²y³ - sin(x).
• Также найдем смешанную частную производную ∂²z/∂y∂x:
1. Мы берем производную ∂z/∂y = 4x³y³ + cos(x) по x:
2. Производная от 4x³y³ по x будет 12x²y³.
3. Производная от cos(x) по x будет -sin(x).
4. Итак, смешанная частная производная:
5. ∂²z/∂y∂x = 12x²y³ - sin(x).

Таким образом, мы нашли все необходимые частные производные второго порядка:

• ∂²z/∂x² = 6xy⁴ - ycos(x)
• ∂²z/∂y² = 12x³y²
• ∂²z/∂x∂y = 12x²y³ - sin(x)
• ∂²z/∂y∂x = 12x²y³ - sin(x)