Для нахождения частных производных второго порядка функции z = x² - 2xy² + y³, сначала найдем частные производные первого порядка, а затем частные производные второго порядка.

Шаг 1: Найдите частные производные первого порядка.

1. Найдите частную производную по x:
• z = x² - 2xy² + y³
• Частная производная по x: z_x = d/dx(x² - 2xy² + y³)
• z_x = 2x - 2y²
2. Найдите частную производную по y:
• z = x² - 2xy² + y³
• Частная производная по y: z_y = d/dy(x² - 2xy² + y³)
• z_y = -4xy + 3y²

Шаг 2: Найдите частные производные второго порядка.

1. Частная производная второго порядка по x:
• z_x = 2x - 2y²
• Частная производная второго порядка по x: z_xx = d/dx(2x - 2y²)
• z_xx = 2
2. Частная производная второго порядка по y:
• z_y = -4xy + 3y²
• Частная производная второго порядка по y: z_yy = d/dy(-4xy + 3y²)
• z_yy = -4x + 6y
3. Смешанная частная производная (по x, затем по y):
• z_x = 2x - 2y²
• Частная производная по y: z_xy = d/dy(2x - 2y²)
• z_xy = -4y
4. Смешанная частная производная (по y, затем по x):
• z_y = -4xy + 3y²
• Частная производная по x: z_yx = d/dx(-4xy + 3y²)
• z_yx = -4y

Таким образом, частные производные второго порядка для функции z = x² - 2xy² + y³ равны:

• z_xx = 2
• z_yy = -4x + 6y
• z_xy = z_yx = -4y