Найдите частные производные второго порядка функции z = xy + xsin y

Другие предметы Колледж Частные производные частные производные математический анализ колледж функция z производные второго порядка xy xsin y Новый

Для нахождения частных производных второго порядка функции z = xy + xsin y, нам сначала нужно найти частные производные первого порядка по переменным x и y.

Шаг 1: Находим частные производные первого порядка

• Частная производная по x:

  Чтобы найти частную производную z по x, мы рассматриваем y как константу:

  ∂z/∂x = y + sin y

• Частная производная по y:

  Теперь находим частную производную z по y, рассматривая x как константу:

  ∂z/∂y = x + xcos y

Шаг 2: Находим частные производные второго порядка

Теперь, когда у нас есть частные производные первого порядка, мы можем найти частные производные второго порядка.

• Частная производная второго порядка по x:

  Теперь найдем частную производную ∂²z/∂x²:

  ∂²z/∂x² = ∂/∂x (∂z/∂x) = ∂/∂x (y + sin y) = 0

  Поскольку y и sin y не зависят от x, производная равна 0.

• Частная производная второго порядка по y:

  Теперь найдем частную производную ∂²z/∂y²:

  ∂²z/∂y² = ∂/∂y (∂z/∂y) = ∂/∂y (x + xcos y) = -xsin y

• Смешанная производная:

  Теперь найдем смешанную производную ∂²z/∂x∂y:

  ∂²z/∂x∂y = ∂/∂y (∂z/∂x) = ∂/∂y (y + sin y) = 1 + cos y

• Смешанная производная:

  Теперь найдем смешанную производную ∂²z/∂y∂x:

  ∂²z/∂y∂x = ∂/∂x (∂z/∂y) = ∂/∂x (x + xcos y) = 1 + cos y

Итак, мы получили следующие частные производные второго порядка:

• ∂²z/∂x² = 0
• ∂²z/∂y² = -xsin y
• ∂²z/∂x∂y = 1 + cos y
• ∂²z/∂y∂x = 1 + cos y

Таким образом, мы нашли все частные производные второго порядка для функции z = xy + xsin y.