Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций?

Другие предметы Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл алгебраическая сумма функций математический анализ интегралы в колледже основные правила интегрирования Новый

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций можно найти, используя свойства интегралов. Давайте рассмотрим этот процесс более подробно.

Шаг 1: Понимание интеграла

Неопределенный интеграл функции f(x) обозначается как ∫f(x)dx и представляет собой семейство функций, производная которых равна f(x).

Шаг 2: Свойства интегралов

Одно из основных свойств интегралов гласит, что интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций. Это можно записать следующим образом:

• ∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Это свойство распространяется и на более сложные суммы. Например:

• ∫(f(x) + g(x) + h(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx + ∫h(x)dx

Шаг 3: Применение свойства

Теперь, если у вас есть алгебраическая сумма функций, например, f(x) + g(x) + ... + n(x), вы можете применить это свойство к каждой функции в сумме. Результат будет выглядеть так:

• ∫(f(x) + g(x) + ... + n(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx + ... + ∫n(x)dx

Шаг 4: Пример

Рассмотрим пример:

• Пусть f(x) = x^2 и g(x) = 3x.
• Тогда ∫(f(x) + g(x))dx = ∫(x^2 + 3x)dx.

По свойству интегралов это будет:

• ∫(x^2 + 3x)dx = ∫x^2dx + ∫3xdx.

Теперь мы можем вычислить интегралы отдельно:

• ∫x^2dx = (1/3)x^3 + C1,
• ∫3xdx = (3/2)x^2 + C2.

Объединив результаты, получаем:

• ∫(x^2 + 3x)dx = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + C,

где C = C1 + C2 - произвольная константа.

Вывод

Таким образом, неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме неопределенных интегралов этих функций. Это свойство позволяет легко вычислять интегралы сложных выражений, разбивая их на более простые части.