Дан неопределенный интеграл ∫ sinx cos5 xdx.Вычислите его значение.

Другие предметы Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл интеграл sinx интеграл cos5 x вычисление интеграла математика колледж Новый

Чтобы вычислить неопределенный интеграл ∫ sin(x) cos^5(x) dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить.

1. Выбор подстановки: Мы заметим, что производная функции cos(x) равна -sin(x). Это подсказывает нам, что мы можем использовать cos(x) в качестве подстановки. Обозначим:
   • u = cos(x)
   • Тогда du/dx = -sin(x), что означает, что du = -sin(x) dx.
2. Переписываем интеграл: Подставим u и du в наш интеграл. Мы можем выразить sin(x) dx через du:
   • sin(x) dx = -du.
   Теперь подставим это в интеграл:
   • ∫ sin(x) cos^5(x) dx = ∫ -u^5 du.
3. Интегрирование: Теперь нам нужно интегрировать -u^5:
   • ∫ -u^5 du = - (u^6 / 6) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
4. Возвращаемся к переменной x: Теперь подставим обратно u = cos(x):
   • - (cos^6(x) / 6) + C.

Ответ: Таким образом, значение неопределенного интеграла ∫ sin(x) cos^5(x) dx равно - (cos^6(x) / 6) + C, где C - произвольная константа интегрирования.