Неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³dx равен …

• 2x⁴ + C
• −8x⁵/5 + C
• −2x³ + 3x⁴ − 8x⁵/5 + C

Другие предметы Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл интегрирование математика колледж интеграл x(1-2x)³ решение интеграла математический анализ учебные материалы колледжа Новый

Чтобы найти неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³ dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Выбор подстановки: Пусть u = 1 - 2x. Тогда производная u по x будет:
• du/dx = -2,
• или du = -2dx,
• отсюда dx = -du/2.
2. Переписываем интеграл: Теперь заменим x в терминах u. Из уравнения u = 1 - 2x мы можем выразить x:
• 2x = 1 - u,
• x = (1 - u)/2.
3. Подставляем в интеграл: Теперь подставим x и dx в наш интеграл:
• ∫ x(1 − 2x)³ dx = ∫ ((1 - u)/2)u³ (-du/2).
4. Упрощаем интеграл: Это можно упростить:
• ∫ x(1 − 2x)³ dx = -1/4 ∫ (1 - u)u³ du.
5. Раскрываем скобки: Раскроем скобки в интеграле:
• -1/4 ∫ (u³ - u⁴) du.
6. Интегрируем: Теперь мы можем интегрировать:
• -1/4 [ (u⁴)/4 - (u⁵)/5 ] + C = -1/16 u⁴ + 1/20 u⁵ + C.
7. Возвращаемся к переменной x: Теперь подставим обратно u = 1 - 2x:
• ∫ x(1 − 2x)³ dx = -1/16 (1 - 2x)⁴ + 1/20 (1 - 2x)⁵ + C.

Теперь мы можем упростить выражение, если необходимо, но основной ответ на интеграл будет таким.

Таким образом, неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³ dx равен -1/16 (1 - 2x)⁴ + 1/20 (1 - 2x)⁵ + C.

Теперь, сравнив с предложенными вариантами ответов, мы можем заметить, что ни один из них не совпадает с нашим результатом. Возможно, в предложенных ответах есть ошибки или они требуют дополнительной проверки.