Чтобы найти производную функции f(x) = (x^2 + 3x) / (x^2 - 1), мы будем использовать правило деления производных, которое гласит, что если у нас есть функция в виде f(x) = g(x) / h(x), то производная этой функции вычисляется по формуле:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2

Где g(x) = x^2 + 3x и h(x) = x^2 - 1. Теперь давайте найдем производные g'(x) и h'(x).

1. Находим g'(x):
   • g'(x) = d/dx (x^2 + 3x) = 2x + 3
2. Находим h'(x):
   • h'(x) = d/dx (x^2 - 1) = 2x

Теперь подставим все найденные значения в формулу для производной:

f'(x) = ((2x + 3) * (x^2 - 1) - (x^2 + 3x) * (2x)) / (x^2 - 1)^2

Теперь упростим числитель:

1. Раскроем скобки:
• (2x + 3)(x^2 - 1) = 2x^3 - 2x + 3x^2 - 3
• (x^2 + 3x)(2x) = 2x^3 + 6x^2
2. Теперь подставим в числитель:
• Числитель: 2x^3 - 2x + 3x^2 - 3 - (2x^3 + 6x^2)
3. Соберем подобные слагаемые:
• 2x^3 - 2x^3 + 3x^2 - 6x^2 - 2x - 3 = -3x^2 - 2x - 3

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в формулу для производной:

f'(x) = (-3x^2 - 2x - 3) / (x^2 - 1)^2

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = (-3x^2 - 2x - 3) / (x^2 - 1)^2

Теперь мы можем проверить предложенные варианты ответов. Верный ответ:

f'(x) = -3x^2 + 2x + 3 / (x^2 - 1)^2