Дано дифференциальное уравнение: y'+2y=4x.Решите это уравнение.

• 5x-2+C⋅e⁻²ˣ.
• 4x-1+C⋅e⁻²ˣ.
• 2x-1+C⋅e⁻²ˣ.

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение решение уравнения высшая математика колледж y'+2y=4x методы решения дифференциальных уравнений Новый

Для решения данного дифференциального уравнения y' + 2y = 4x, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Давайте пройдемся по шагам:

1. Определим интегрирующий множитель.

   Для уравнения в стандартной форме y' + p(x)y = q(x), где p(x) = 2 и q(x) = 4x, интегрирующий множитель μ(x) определяется как:

   μ(x) = e^(∫p(x)dx) = e^(∫2dx) = e^(2x).

2. Умножим уравнение на интегрирующий множитель.

   Теперь умножим всё уравнение на e^(2x):

   e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4xe^(2x).

3. Запишем левую часть как производную.

   Левую часть уравнения можно записать как производную:

   (e^(2x)y)' = 4xe^(2x).

4. Интегрируем обе стороны уравнения.

   Теперь интегрируем обе стороны:

   ∫(e^(2x)y)'dx = ∫4xe^(2x)dx.

   Левая часть даст нам e^(2x)y, а для правой части используем интеграцию по частям:

   • Выбираем u = 4x, dv = e^(2x)dx.
   • Тогда du = 4dx, v = (1/2)e^(2x).
   • Теперь применим формулу интегрирования по частям: ∫udv = uv - ∫vdu.
   • Получаем: ∫4xe^(2x)dx = (4x/2)e^(2x) - ∫(2e^(2x) * 4)dx = 2xe^(2x) - 2∫e^(2x)dx = 2xe^(2x) - e^(2x) + C.
5. Запишем итоговое уравнение.

   Итак, у нас есть:

   e^(2x)y = 2xe^(2x) - e^(2x) + C.

6. Решим для y.

   Теперь делим обе стороны на e^(2x):

   y = 2x - 1 + Ce^(-2x).

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = 2x - 1 + C * e^(-2x).

Где C - произвольная константа.