Найдите общее решение уравнения xy' – y = 0

1. y(x) = C₁x
2. y(x) = C₁x + C₂
3. y(x) = C₁ + x

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения первого порядка высшая математика колледж общее решение уравнение xy' y C1 C2 математика для колледжа Дифференциальные уравнения Новый

Чтобы решить уравнение xy' - y = 0, начнем с его преобразования. Это уравнение можно переписать в виде:

xy' = y

Теперь разделим обе стороны на x (при условии, что x ≠ 0):

y' = y/x

Теперь мы имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Перепишем его в виде:

dy/y = dx/x

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

1. Интеграл слева: ∫(1/y) dy = ln|y| + C₁
2. Интеграл справа: ∫(1/x) dx = ln|x| + C₂

После интегрирования мы получаем:

ln|y| = ln|x| + C

где C = C₂ - C₁ - произвольная константа. Теперь, возводя обе стороны в степень, получаем:

|y| = e^(ln|x| + C) = |x| * e^C

Обозначим K = e^C, тогда:

|y| = K|x|

Это означает, что:

y = Kx или y = -Kx

Так как K - произвольная константа, мы можем записать общее решение в виде:

y = Cx, где C - произвольная константа.

Теперь, если мы подставим y(x) = C₁x в уравнение y(x) = C₁ + x, мы увидим, что это не является общим решением, так как оно не соответствует нашему выводу.

Таким образом, общее решение уравнения xy' - y = 0 имеет вид:

y = Cx, где C - произвольная константа.