Чтобы найти частное решение данного дифференциального уравнения, мы должны следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс:

1. Запишите уравнение: У нас есть дифференциальное уравнение первого порядка: y′ + 4y = 2.
2. Найдите общее решение: Это уравнение можно решить методом вариации постоянной или методом интегрирующего множителя. Мы применим метод интегрирующего множителя. Для уравнения вида y′ + Py = Q, интегрирующий множитель μ(t) равен e^(∫P dt). В нашем случае P = 4, поэтому:
• ∫P dt = ∫4 dt = 4t
• μ(t) = e^(4t)
3. Умножьте уравнение на интегрирующий множитель: Умножим обе части уравнения на e^(4t):
   • e^(4t)y′ + 4e^(4t)y = 2e^(4t)
4. Запишите левую часть уравнения как производную: Левую часть можно переписать как производную произведения:
   • (e^(4t)y)′ = 2e^(4t)
5. Интегрируйте обе части уравнения: Интегрируем обе части уравнения по t:
   • ∫(e^(4t)y)′ dt = ∫2e^(4t) dt
   • e^(4t)y = (1/2)e^(4t) + C
6. Решите относительно y: Разделим обе части уравнения на e^(4t):
   • y = (1/2) + Ce^(-4t)
7. Используйте начальное условие: У нас есть начальное условие y(0) = 6. Подставим t = 0 и y = 6 в уравнение:
   • 6 = (1/2) + C
   • C = 6 - 1/2 = 11/2
8. Запишите частное решение: Теперь мы можем записать частное решение, используя найденное значение C:
   • y = (1/2) + (11/2)e^(-4t)

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, равно y = (1/2) + (11/2)e^(-4t).