Найдите общее решение уравнения xy' - y = 0

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения первого порядка математический анализ колледж общее решение уравнение xy' y = 0 Новый

Для решения уравнения xy' - y = 0, начнем с того, что это уравнение можно переписать в более удобной форме. Мы можем выразить y' (производную y по x) следующим образом:

xy' = y

Теперь, разделим обе стороны на x (при условии, что x не равен нулю):

y' = y/x

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных. Мы можем записать уравнение в следующем виде:

dy/y = dx/x

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Левая сторона: ∫(1/y) dy = ln|y| + C₁
2. Правая сторона: ∫(1/x) dx = ln|x| + C₂

Где C₁ и C₂ - константы интегрирования. Объединяя обе стороны, получаем:

ln|y| = ln|x| + C

Где C = C₂ - C₁ - это новая константа. Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, мы применим экспоненциальную функцию:

|y| = e^(ln|x| + C) = |x| * e^C

Обозначим e^C как K (где K - положительная константа), тогда:

|y| = K|x|

Теперь, убирая модуль, мы можем записать общее решение в виде:

y = Kx, где K - произвольная константа.

Таким образом, общее решение уравнения xy' - y = 0 имеет вид:

y = Kx, где K - произвольная константа.