Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Другие предметы Колледж Экстремумы функций математический анализ экстремум функции необходимое условие дифференцируемая функция доказательство экстремума Новый

Давайте разберем необходимое условие экстремума для дифференцируемой функции. Это условие гласит, что если функция имеет экстремум (максимум или минимум) в точке, то производная этой функции в этой точке равна нулю.

Рассмотрим функцию f(x), которая дифференцируема в некоторой точке x = a. Мы хотим показать, что если f(a) - это экстремум, то f'(a) = 0.

1. Определение экстремума: Мы говорим, что f(a) является максимумом, если для всех x, близких к a, выполняется неравенство f(x) <= f(a). Аналогично, f(a) является минимумом, если f(x) >= f(a) для всех x, близких к a.
2. Рассмотрим производную: Поскольку функция f(x) дифференцируема в точке a, мы можем рассмотреть производную f'(a), которая определяется как предел:

   f'(a) = lim (h -> 0) [f(a + h) - f(a)] / h.

3. Анализ производной: Теперь давайте проанализируем поведение производной в окрестности точки a:
   • Если f(a) - максимум, то для малых h (где h > 0) f(a + h) < f(a). Это означает, что дробь [f(a + h) - f(a)] будет отрицательной, а значит, f'(a) будет меньше нуля.
   • Если h < 0, то f(a + h) < f(a) также будет верно, и f'(a) будет больше нуля.

   Таким образом, если f(a) - максимум, то f'(a) меняет знак с положительного на отрицательное, что подразумевает, что f'(a) = 0.

4. Аналогично для минимума: Если f(a) - минимум, то мы можем провести аналогичный анализ. В этом случае для h > 0 f(a + h) > f(a), а для h < 0 f(a + h) > f(a). Это означает, что производная f'(a) также должна равняться нулю, так как она меняет знак с отрицательного на положительный.

Таким образом, мы пришли к заключению, что если функция f(x) имеет экстремум в точке x = a, то производная этой функции в этой точке равна нулю: f'(a) = 0.

Это и есть необходимое условие экстремума для дифференцируемой функции. Надеюсь, это объяснение было полезным!