Чтобы исследовать функцию y = x^3 + 3x^2 на экстремумы, нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно:

1. Найти первую производную функции:

   Первая производная функции y = x^3 + 3x^2 позволяет нам определить критические точки, где возможны экстремумы. Найдем производную:

   • Производная от x^3 равна 3x^2.
   • Производная от 3x^2 равна 6x.

   Таким образом, первая производная функции:

   y' = 3x^2 + 6x

2. Найти критические точки:

   Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы решаем уравнение:

   3x^2 + 6x = 0

   Решим это уравнение:

   • Вынесем общий множитель 3x за скобки: 3x(x + 2) = 0
   • Получаем два решения: x = 0 и x = -2

   Эти значения x являются критическими точками.

3. Исследовать характер критических точек:

   Чтобы определить, являются ли критические точки минимумами, максимумами или точками перегиба, найдем вторую производную функции:

   • Первая производная: y' = 3x^2 + 6x
   • Вторая производная: y'' = 6x + 6

   Теперь подставим критические точки во вторую производную:

   • Для x = 0: y''(0) = 6(0) + 6 = 6. Поскольку y''(0) > 0, это точка минимума.
   • Для x = -2: y''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6. Поскольку y''(-2) < 0, это точка максимума.
4. Определить значения функции в критических точках:

   Теперь найдем значения функции в найденных критических точках:

   • Для x = 0: y(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0
   • Для x = -2: y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4

Таким образом, функция y = x^3 + 3x^2 имеет точку минимума в (0, 0) и точку максимума в (-2, 4).