Найдите точки максимума (минимума) функции y = −x² + 4x

Другие предметы Колледж Экстремумы функций точки максимума точки минимума функция y = −x² + 4x математический анализ колледж экстремумы функции нахождение максимумов нахождение минимумов Новый

Чтобы найти точки максимума и минимума функции y = -x² + 4x, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем производную функции. Производная функции y по x обозначается как y'. Мы найдем производную функции y = -x² + 4x:
• y' = d/dx (-x²) + d/dx (4x)
• y' = -2x + 4
2. Найдем критические точки. Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. В нашем случае производная y' = -2x + 4 равна нулю:
• -2x + 4 = 0
• -2x = -4
• x = 2
3. Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 2.
4. Определим, является ли эта точка максимумом или минимумом. Для этого мы можем использовать второй производный тест. Найдем вторую производную функции:
• y'' = d/dx (-2x + 4)
• y'' = -2
5. Так как вторая производная y'' = -2 < 0, это означает, что функция имеет максимум в критической точке x = 2.
6. Найдём значение функции в точке максимума. Подставим x = 2 в исходную функцию:
• y(2) = -2² + 4*2
• y(2) = -4 + 8
• y(2) = 4
7. Таким образом, точка максимума: (2, 4).

В заключение, мы нашли, что функция y = -x² + 4x достигает максимума в точке (2, 4), и у неё нет точек минимума, так как парабола открыта вниз.