Найдите точки максимума (минимума) функции y = x / (1 + x²)

Другие предметы Колледж Экстремумы функций точки максимума точки минимума математический анализ функции производная экстремумы функции колледж расчет экстремумов Новый

Чтобы найти точки максимума и минимума функции y = x / (1 + x²), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

Для начала, найдем производную функции y. Мы используем правило деления для нахождения производной:

Если y = u/v, то y' = (u'v - uv') / v², где u = x и v = 1 + x².

• u' = 1
• v' = 2x

Теперь подставим значения в формулу производной:

y' = (1 * (1 + x²) - x * 2x) / (1 + x²)² = (1 + x² - 2x²) / (1 + x²)² = (1 - x²) / (1 + x²)².

2. Найти критические точки.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена. Найдем, когда y' = 0:

(1 - x²) / (1 + x²)² = 0.

Числитель равен нулю, когда 1 - x² = 0, что дает x² = 1. Таким образом, x = ±1.

3. Определить, являются ли критические точки максимумами или минимумами.

Для этого мы можем использовать второй производный тест или исследовать знак первой производной.

Найдем вторую производную y'. Сначала упростим y': y' = (1 - x²) / (1 + x²)².

• Для x = 1: y' = (1 - 1) / (1 + 1)² = 0,
• Для x = -1: y' = (1 - 1) / (1 + 1)² = 0.

Теперь исследуем знак первой производной на интервалах:

• Для x < -1, например, x = -2: y' > 0 (функция возрастает).
• Для -1 < x < 1, например, x = 0: y' < 0 (функция убывает).
• Для x > 1, например, x = 2: y' > 0 (функция возрастает).

Таким образом, мы видим, что:

• В точке x = -1 функция имеет максимум, так как она возрастает до этой точки и убывает после.
• В точке x = 1 функция имеет минимум, так как она убывает до этой точки и возрастает после.
4. Найти значения функции в критических точках.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• y(-1) = -1 / (1 + 1) = -1/2 (максимум),
• y(1) = 1 / (1 + 1) = 1/2 (минимум).

Итак, точки максимума и минимума функции:

• Максимум в точке (-1, -1/2).
• Минимум в точке (1, 1/2).