Найдите точки максимума (минимума) функции y = x / (1 + x²)

• (-1; -0,5) – точка минимума, (1; 0,5) – точка максимума
• (-0,5; -1) – точка минимума, (1; 0,5) – точка максимума

• (-0,5; -1) – точка минимума, (0,5; 10,5) – точка максимума

Другие предметы Колледж Экстремумы функций выше математика точки максимума точки минимума функции колледж анализ функций критические точки нахождение максимумов нахождение минимумов математические функции Новый

Для нахождения точек максимума и минимума функции y = x / (1 + x²) необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

1. Найдем производную функции. Для начала, нам нужно найти первую производную функции y по x. Используем правило деления:
• y = u/v, где u = x и v = 1 + x².
• Тогда y' = (u'v - uv') / v², где u' = 1 и v' = 2x.
2. Подставим значения:
• y' = (1*(1 + x²) - x*(2x)) / (1 + x²)² = (1 + x² - 2x²) / (1 + x²)² = (1 - x²) / (1 + x²)².
3. Найдем критические точки: Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим y' = 0:
• (1 - x²) = 0, откуда x² = 1, следовательно, x = 1 и x = -1.
4. Исследуем знак производной: Для определения, являются ли эти точки максимумами или минимумами, нужно исследовать знак производной в интервалах:
• Для x < -1: y' > 0 (функция возрастает).
• Для -1 < x < 1: y' < 0 (функция убывает).
• Для x > 1: y' > 0 (функция снова возрастает).
5. Определяем типы критических точек:
• x = -1 - точка максимума (переход от возрастания к убыванию).
• x = 1 - точка минимума (переход от убывания к возрастанию).
6. Найдем значения функции в критических точках:
• y(-1) = -1 / (1 + 1) = -1/2.
• y(1) = 1 / (1 + 1) = 1/2.

Теперь у нас есть критические точки: (-1, -1/2) - точка максимума и (1, 1/2) - точка минимума.

Таким образом, мы нашли точки максимума и минимума функции:

• Точка максимума: (-1, -1/2)
• Точка минимума: (1, 1/2)

Следовательно, ваши указанные точки минимума и максимума не соответствуют найденным. Пожалуйста, проверьте данные или уточните, если есть дополнительные условия.