Чтобы найти точки локального экстремума функции f(x) = x³ + x² − 5x + 6, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции:

   Первая производная функции f(x) = x³ + x² − 5x + 6 будет:

   f'(x) = 3x² + 2x − 5

2. Найти критические точки:

   Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы решаем уравнение:

   3x² + 2x − 5 = 0

   Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

   • Дискриминант D = b² - 4ac = 2² - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64
   • Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / 2a
   • Подставляем значения: x = (-2 ± √64) / 6
   • Получаем два корня: x₁ = (−2 + 8) / 6 = 6/6 = 1 и x₂ = (−2 − 8) / 6 = −10/6 = −5/3
3. Определить, являются ли найденные точки точками локального экстремума:

   Чтобы определить характер критических точек, можно использовать вторую производную или исследовать знак первой производной в окрестностях критических точек.

   Найдем вторую производную:

   f''(x) = 6x + 2

   • Для x = 1: f''(1) = 6 * 1 + 2 = 8 (положительное значение, значит, x = 1 - точка локального минимума)
   • Для x = -5/3: f''(-5/3) = 6 * (-5/3) + 2 = -10 + 2 = -8 (отрицательное значение, значит, x = -5/3 - точка локального максимума)

Таким образом, точки локального экстремума функции f(x) = x³ + x² − 5x + 6 - это {1; −5/3}.