Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Другие предметы Колледж Экстремумы функций достаточное условие экстремума математический анализ колледж доказательство экстремума функции анализ функций условия экстремума Новый

Чтобы доказать первое достаточное условие экстремума функции, рассмотрим функцию f(x), которая является непрерывной и дифференцируемой в некоторой окрестности точки x0. Мы хотим показать, что если f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(x0) = 0.

Шаги доказательства:

1. Определение локального экстремума:

   Точка x0 называется локальным максимумом функции f(x), если существует окрестность U точки x0 такая, что для всех x из U выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0). Аналогично, x0 является локальным минимумом, если f(x) ≥ f(x0) для всех x из U.

2. Рассмотрим окрестность точки x0:

   Предположим, что x0 является локальным экстремумом. Тогда, в некоторой окрестности точки x0, функция f(x) не может быть больше (если x0 - максимум) или меньше (если x0 - минимум) значения f(x0).

   Это означает, что если мы возьмем точки x, которые достаточно близки к x0, то функция должна либо увеличиваться, либо уменьшаться.

3. Использование производной:

   Если мы рассмотрим производную функции f(x) в точке x0, то она будет описывать скорость изменения функции в этой точке. Если f'(x0) > 0, это означает, что функция возрастает в окрестности x0, а значит, x0 не может быть максимумом. Если f'(x0) < 0, функция убывает, и x0 не может быть минимумом.

4. Заключение:

   Таким образом, если в точке x0 функция имеет локальный экстремум, то производная в этой точке должна равняться нулю. Это и есть первое достаточное условие экстремума: если f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, то f'(x0) = 0.

Таким образом, мы доказали, что для функции, имеющей локальный экстремум в точке, производная этой функции в данной точке равна нулю.