Чтобы доказать первое достаточное условие экстремума функции, рассмотрим функцию f(x),которая является непрерывной и дифференцируемой в некоторой окрестности точки x0. Мы хотим показать, что если f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(x0) = 0.

Шаги доказательства:

1. Определение локального экстремума:

   Точка x0 называется локальным максимумом функции f(x),если существует окрестность U точки x0 такая, что для всех x из U выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0). Аналогично, x0 является локальным минимумом, если f(x) ≥ f(x0) для всех x из U.

2. Рассмотрим окрестность точки x0:

   Предположим, что x0 является локальным экстремумом. Тогда, в некоторой окрестности точки x0, функция f(x) не может быть больше (если x0 - максимум) или меньше (если x0 - минимум) значения f(x0).

   Это означает, что если мы возьмем точки x, которые достаточно близки к x0, то функция должна либо увеличиваться, либо уменьшаться.

3. Использование производной:

   Если мы рассмотрим производную функции f(x) в точке x0, то она будет описывать скорость изменения функции в этой точке. Если f'(x0) > 0, это означает, что функция возрастает в окрестности x0, а значит, x0 не может быть максимумом. Если f'(x0) < 0, функция убывает, и x0 не может быть минимумом.

4. Заключение:

   Таким образом, если в точке x0 функция имеет локальный экстремум, то производная в этой точке должна равняться нулю. Это и есть первое достаточное условие экстремума: если f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, то f'(x0) = 0.

Таким образом, мы доказали, что для функции, имеющей локальный экстремум в точке, производная этой функции в данной точке равна нулю.