Первое достаточное условие экстремума функции гласит, что если функция f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум и в этой точке производная f'(x0) равна нулю, то f'(x0) = 0. Однако, это условие не является достаточным для нахождения экстремума, так как в этой точке может находиться как минимум, так и максимум, или даже точка перегиба.

Для более глубокого понимания, давайте рассмотрим шаги, необходимые для доказательства этого условия:

1. Определение экстремума: Сначала определим, что такое локальный экстремум. Функция f(x) имеет локальный максимум в точке x0, если существует окрестность этой точки, в которой f(x) ≤ f(x0) для всех x. Аналогично, функция имеет локальный минимум, если f(x) ≥ f(x0) для всех x в окрестности x0.
2. Условие первой производной: Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, то производная f'(x) в этой точке должна быть равна нулю. Это связано с тем, что в точке экстремума наклон касательной к графику функции равен нулю.
3. Пример: Рассмотрим функцию f(x) = x^2. В точке x0 = 0 мы видим, что f'(0) = 0, и эта точка является локальным минимумом. Однако, если мы возьмем функцию f(x) = x^3, то в точке x0 = 0 также выполняется f'(0) = 0, но это уже точка перегиба, и здесь нет экстремума.
4. Вывод: Таким образом, первое достаточное условие экстремума утверждает, что если в точке x0 производная равна нулю, то это является необходимым, но не достаточным условием для существования локального экстремума. Для проверки, является ли точка экстремумом, необходимо использовать второе условие или исследовать поведение функции в окрестности этой точки.

Таким образом, мы можем заключить, что первое достаточное условие экстремума помогает нам найти кандидатов на экстремум, но для окончательной проверки необходимо использовать дополнительные методы анализа.