Похожие вопросы
2025-08-25 01:22:43
Фигура, образованная путем вращения вокруг оси Oх, ограничена линиями y=4x-x²,y=x. Найдите объем данного тела.
- π/2
- 108π/5
- 15/2
Другие предметы Колледж Объем тел вращения высшая математика колледж Объём тела вращения интегралы геометрия математические задачи линии функции ось Oх нахождение объема Новый
2025-08-25 01:22:50
Чтобы найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oх, нам нужно воспользоваться методом дисков или цилиндров. В данном случае мы будем использовать метод дисков, так как это наиболее удобный способ для данной задачи.
Первым шагом является нахождение точек пересечения кривых y = 4x - x² и y = x. Для этого приравняем эти два уравнения:
- 4x - x² = x
- Переносим все в одну сторону: -x² + 4x - x = 0
- Упрощаем: -x² + 3x = 0
- Факторизуем: x(-x + 3) = 0
- Таким образом, x = 0 и x = 3.
Теперь мы знаем, что фигура ограничена на интервале от x = 0 до x = 3.
Следующим шагом будет определение радиусов дисков. В данном случае радиус диска будет равен разности верхней функции и нижней функции в пределах нашего интервала:
Верхняя функция: y = 4x - x²
Нижняя функция: y = x
Радиус диска R(x) будет равен:
R(x) = (4x - x²) - x = 4x - x² - x = 3x - x².
Теперь мы можем записать формулу для объема V тела вращения:
V = π * ∫[a, b] (R(x))² dx, где a = 0, b = 3.
Подставим радиус:
V = π * ∫[0, 3] (3x - x²)² dx.
Теперь найдем (3x - x²)²:
(3x - x²)² = 9x² - 6x³ + x^4.
Теперь подставим это в интеграл:
V = π * ∫[0, 3] (9x² - 6x³ + x^4) dx.
Теперь вычислим интеграл:
- ∫9x² dx = 3x³ + C.
- ∫-6x³ dx = -3/2 * x^4 + C.
- ∫x^4 dx = 1/5 * x^5 + C.
Теперь подставим пределы интегрирования:
V = π * [3x³ - 3/2 * x^4 + 1/5 * x^5] от 0 до 3.
Подставляем x = 3:
V = π * [3(3)³ - 3/2 * (3)⁴ + 1/5 * (3)⁵]
V = π * [3(27) - 3/2 * 81 + 1/5 * 243]
V = π * [81 - 121.5 + 48.6]
V = π * [81 - 121.5 + 48.6] = π * [8.1] = 8.1π.
Теперь мы можем выразить объем в более удобной форме. Объем V = 8.1π, что соответствует 81/10 π.
Таким образом, окончательный ответ:
Объем тела вращения равен 81/10 π.
