Чтобы найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oх, нам нужно использовать метод дисков или цилиндров. Для этого сначала найдем точки пересечения функций y=4x-x² и y=x.

1. Решим уравнение:
• 4x - x² = x
• Переносим все в одну сторону:
• -x² + 4x - x = 0
• -x² + 3x = 0
• Факторизуем:
• x(-x + 3) = 0
• Таким образом, x = 0 и x = 3.
2. Теперь определим объем тела вращения. Объем V можно найти по формуле:
• V = π * ∫[a, b] (R² - r²) dx,
• где R - верхняя функция, r - нижняя функция, a и b - пределы интегрирования.
3. В нашем случае:
• R = 4x - x² (верхняя функция),
• r = x (нижняя функция),
• a = 0 и b = 3.
4. Теперь подставим в формулу:
• V = π * ∫[0, 3] ((4x - x²)² - x²) dx.
5. Теперь упростим выражение под интегралом:
• (4x - x²)² = 16x² - 8x³ + x⁴,
• Таким образом, (4x - x²)² - x² = 16x² - 8x³ + x⁴ - x² = 15x² - 8x³ + x⁴.
6. Теперь вычислим интеграл:
• V = π * ∫[0, 3] (15x² - 8x³ + x⁴) dx.
• Находим первообразную:
• ∫(15x²) dx = 5x³,
• ∫(-8x³) dx = -2x⁴,
• ∫(x⁴) dx = (1/5)x⁵.
7. Теперь подставляем пределы интегрирования:
• V = π * [5x³ - 2x⁴ + (1/5)x⁵] от 0 до 3.
• Подставляем x = 3:
• V = π * [5(3)³ - 2(3)⁴ + (1/5)(3)⁵] = π * [5(27) - 2(81) + (1/5)(243)].
• V = π * [135 - 162 + 48.6] = π * [21.6].
8. Теперь подставляем значение:
• V = π * 21.6 = 21.6π.

Таким образом, объем тела, образованного вращением данной фигуры, равен 21.6π. Однако, если мы посмотрим на предложенные варианты ответов, то видим, что 21.6π можно выразить в виде дроби:

• 21.6 = 108/5,
• Следовательно, объем V = (108/5)π.

Таким образом, правильный ответ - 108π / 5.