Геометрически первая производная от функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в данной точке. Давайте разберем это понятие подробнее.

• Определение производной: Первая производная функции f(x) в точке x0 обозначается как f'(x0) и определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
1. f'(x0) = lim (h → 0) [(f(x0 + h) - f(x0)) / h]
• Геометрическая интерпретация: Если мы представим график функции, то в точке (x0, f(x0)) мы можем провести касательную линию. Угловой коэффициент этой касательной линии показывает, насколько быстро изменяется значение функции в этой точке.
• Пример: Рассмотрим функцию f(x) = x^2. Найдем производную:
1. f'(x) = 2x. Это означает, что в точке x0 производная будет равна 2x0.
2. Если x0 = 1, то f'(1) = 2 * 1 = 2. Это значит, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (1, 1) равен 2.
3. Геометрически это означает, что касательная поднимается вверх с углом наклона, который соответствует значению 2.

Таким образом, первая производная функции в точке дает нам важную информацию о поведении функции в окрестности этой точки и позволяет находить касательные к графику функции.