Для решения этой задачи мы будем использовать принцип комбинаторики, называемый "размещение с повторениями". Поскольку в коробке находится бесконечное количество шахматных фигур, мы можем брать любое количество фигур одного типа.

Итак, давайте обозначим возможные шахматные фигуры, которые могут быть взяты. Например, это могут быть:

• пешка
• ладья
• конь
• слон
• ферзь
• король

Всего у нас 6 типов фигур. Нам нужно выбрать 6 фигур, и мы можем брать их в любом количестве и в любом сочетании.

Задача сводится к тому, чтобы найти количество решений уравнения:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 6

где x1, x2, x3, x4, x5 и x6 — это количество взятых фигур каждого типа, и они могут принимать значения от 0 до 6.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для нахождения количества неотрицательных целых решений уравнения:

Количество решений = C(n + k - 1, k - 1),

где n — это общее количество фигур, которые мы хотим взять (в нашем случае 6),а k — количество типов фигур (в нашем случае 6).

Подставим наши значения в формулу:

• n = 6
• k = 6

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

Количество решений = C(6 + 6 - 1, 6 - 1) = C(11, 5).

Теперь найдем C(11, 5):

C(11, 5) = 11! / (5! * (11 - 5)!) = 11! / (5! * 6!)

Вычислим факториалы:

• 11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6!
• 5! = 120
• 6! = 720

Подставим значения:

C(11, 5) = (11 * 10 * 9 * 8 * 7) / 120.

Теперь произведем вычисления:

• 11 * 10 = 110
• 110 * 9 = 990
• 990 * 8 = 7920
• 7920 * 7 = 55440

Теперь делим на 120:

55440 / 120 = 462.

Таким образом, Иван может выбрать 6 шахматных фигур 462 способами.

Ответ: 462 способа.