Похожие вопросы
2025-02-21 15:55:55
Найти коэффициент при x10 y9 z8 в разложении (3x2 + 5y3 + 6z4)10.
Другие предметы Колледж Комбинаторика дискретная математика колледж коэффициент разложение многочлен алгебра комбинаторика задачи формулы x10 y9 z8
2025-07-19 08:45:13
Чтобы найти коэффициент при x10y9z8 в разложении выражения (3x2 + 5y3 + 6z4)10, нам необходимо использовать формулу для нахождения конкретного члена в разложении многочлена по биному Ньютона.
Формула для нахождения конкретного члена в разложении многочлена имеет вид:
- C(n, k) * ak * b(n-k), где C(n, k) — это число сочетаний.
В данном случае у нас три переменные: x, y и z. Мы должны определить, сколько раз каждая из переменных входит в каждый член, чтобы получить нужные степени x10y9z8.
- Выражение (3x2) должно быть использовано 5 раз, чтобы получить x10, потому что (x2)5 = x10.
- Выражение (5y3) должно быть использовано 3 раза, чтобы получить y9, потому что (y3)3 = y9.
- Выражение (6z4) должно быть использовано 2 раза, чтобы получить z8, потому что (z4)2 = z8.
Таким образом, мы должны выбрать 5 раз первый член, 3 раза второй член и 2 раза третий член из 10 возможных. Это можно сделать следующим образом:
- Число сочетаний для выбора 5 раз (3x2) из 10: C(10, 5).
- Число сочетаний для выбора 3 раз (5y3) из оставшихся 5: C(5, 3).
- Число сочетаний для выбора 2 раз (6z4) из оставшихся 2: C(2, 2).
Теперь вычислим коэффициент:
- C(10, 5) = 252
- C(5, 3) = 10
- C(2, 2) = 1
Теперь умножим эти числа сочетаний на соответствующие коэффициенты из выражения:
- Коэффициент из (3x2)5 = 35 = 243
- Коэффициент из (5y3)3 = 53 = 125
- Коэффициент из (6z4)2 = 62 = 36
Теперь найдем общий коэффициент:
252 * 10 * 1 * 243 * 125 * 36 = 10668672000
Таким образом, коэффициент при x10y9z8 в разложении (3x2 + 5y3 + 6z4)10 равен 10668672000.
