Для того чтобы найти коэффициент при x⁶y¹⁰z³ в разложении (5x³ + 3y² + 2z)¹⁰, мы воспользуемся формулой для разложения многочлена по трём переменным, используя обобщённую формулу бинома Ньютона.

Формула для разложения многочлена (a + b + c)ⁿ имеет вид:

• Сумма по всем k, l, m таких, что k + l + m = n:
• C(n, k, l, m) * a^k * b^l * c^m, где C(n, k, l, m) = n! / (k! * l! * m!)

В нашем случае a = 5x³, b = 3y², c = 2z, и n = 10.

Нам нужно найти такие k, l, m, чтобы:

1. k + l + m = 10
2. 3k = 6 (степень x)
3. 2l = 10 (степень y)
4. m = 3 (степень z)

Решим уравнения:

1. Из уравнения 3k = 6 получаем k = 2.
2. Из уравнения 2l = 10 получаем l = 5.
3. m = 3 уже дано.

Теперь проверим, что сумма k + l + m равна 10:

• k + l + m = 2 + 5 + 3 = 10, что соответствует условию.

Теперь найдём коэффициент C(10, 2, 5, 3):

C(10, 2, 5, 3) = 10! / (2! * 5! * 3!)

Посчитаем факториалы:

• 10! = 3628800
• 2! = 2
• 5! = 120
• 3! = 6

Поэтому C(10, 2, 5, 3) = 3628800 / (2 * 120 * 6) = 252.

Теперь учтём коэффициенты a, b, c:

• a^k = (5x³)² = 25x⁶
• b^l = (3y²)⁵ = 243y¹⁰
• c^m = (2z)³ = 8z³

Общий коэффициент равен произведению C(10, 2, 5, 3) и коэффициентов a, b, c:

• 252 * 25 * 243 * 8 = 12247200.

Таким образом, коэффициент при x⁶y¹⁰z³ в разложении (5x³ + 3y² + 2z)¹⁰ равен 12247200.