Математическое ожидание случайной величины с плотностью распределения

Другие предметы Колледж Теория вероятностей и математическая статистика математическое ожидание случайная величина плотность распределения дополнительные главы математики колледж статистика теория вероятностей Новый

Математическое ожидание случайной величины с заданной плотностью распределения – это важная концепция в теории вероятностей и математической статистике. Давайте разберем, как его вычислить.

Шаг 1: Понимание плотности распределения

• Плотность распределения (или функция плотности вероятности) обозначается как f(x).
• Эта функция описывает, как вероятности распределены по значениям случайной величины X.
• Важно, чтобы интеграл от f(x) по всему пространству значений равнялся 1, то есть: ∫ f(x) dx = 1.

Шаг 2: Формула для математического ожидания

Математическое ожидание E(X) случайной величины X с непрерывной плотностью распределения вычисляется по следующей формуле:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

Здесь:

• x – значение случайной величины,
• f(x) – плотность вероятности,
• интеграл берется по всем возможным значениям x.

Шаг 3: Пример вычисления

Рассмотрим случай, когда плотность распределения задана следующим образом:

f(x) = 2x для 0 ≤ x ≤ 1 и f(x) = 0 в противном случае.

1. Проверим, что это действительно плотность распределения:
• ∫ f(x) dx от 0 до 1 = ∫ 2x dx от 0 до 1 = [x^2] от 0 до 1 = 1.
2. Теперь вычислим математическое ожидание:
• E(X) = ∫ x * f(x) dx от 0 до 1 = ∫ x * 2x dx от 0 до 1 = ∫ 2x^2 dx от 0 до 1.
• Вычисляем интеграл: ∫ 2x^2 dx = [2/3 * x^3] от 0 до 1 = 2/3.

Таким образом, математическое ожидание E(X) равно 2/3.

Шаг 4: Заключение

Мы рассмотрели, как вычислить математическое ожидание для случайной величины с заданной плотностью распределения. Этот процесс включает в себя понимание функции плотности, применение формулы для математического ожидания и выполнение интегрирования. Если у вас есть вопросы или вам нужно больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!