1. Отношение P = { ([a, b], [c, d]) ǀ c < a < b < d }

• Рефлексивность: Для любого отрезка [a, b] должно выполняться [a, b] P [a, b]. Однако, c < a не может выполняться, если c = a. Следовательно, рефлексивность не выполняется.
• Антисимметричность: Если [a, b] P [c, d] и [c, d] P [a, b], то это не может произойти, так как условия c < a и a < c противоречат друг другу. Это свойство выполняется.
• Транзитивность: Если [a, b] P [c, d] и [c, d] P [e, f], то c < a < b < d и c < e < f < d могут быть выполнены. Однако, это не гарантирует, что [a, b] P [e, f] будет выполнено. Следовательно, транзитивность не выполняется.

Вывод: Отношение P не является частичным порядком.

2. Отношение Q = { ([a, b], [c, d]) ǀ a < c < b < d }

• Рефлексивность: Для любого отрезка [a, b] не выполняется [a, b] Q [a, b], так как a < a не выполняется. Следовательно, рефлексивность не выполняется.
• Антисимметричность: Если [a, b] Q [c, d] и [c, d] Q [a, b], то это также невозможно, так как условия a < c и c < a противоречат друг другу. Это свойство выполняется.
• Транзитивность: Если [a, b] Q [c, d] и [c, d] Q [e, f], то a < c < b < d и c < e < f < d могут быть выполнены, но это не гарантирует выполнение a < e < b < f. Следовательно, транзитивность не выполняется.

Вывод: Отношение Q не является частичным порядком.

3. Отношение R = { ([a, b], [c, d]) ǀ c < a < d < b }

• Рефлексивность: Для любого отрезка [a, b] не выполняется [a, b] R [a, b], так как c < a не выполняется. Следовательно, рефлексивность не выполняется.
• Антисимметричность: Если [a, b] R [c, d] и [c, d] R [a, b], то это также невозможно, так как условия c < a и a < c противоречат друг другу. Это свойство выполняется.
• Транзитивность: Если [a, b] R [c, d] и [c, d] R [e, f], то c < a < d < b и c < e < f < d могут быть выполнены, но это не гарантирует выполнение c < e < d < b. Следовательно, транзитивность не выполняется.

Вывод: Отношение R не является частичным порядком.

Итог: Ни одно из отношений P, Q и R не является частичным порядком.