Найдите частное решение уравнения xdx = dy, если при x = 1 y = 0

1. y = 1/2 ⋅ (x² - 1)
2. y = 1/2 ⋅ x
3. y = (x² - 1)

Другие предметы Колледж Методы решения дифференциальных уравнений высшая математика частное решение уравнение xdx = dy x = 1 y = 0 y = 1/2 ⋅ (x² - 1) y = 1/2 ⋅ x y = (x² - 1) Новый

Чтобы найти частное решение уравнения xdx = dy, начнем с его интегрирования. Это уравнение можно переписать в более удобной форме:

dy = xdx

Теперь разделим переменные:

dy = xdx

=> dy/y = xdx

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Левую сторону: ∫dy/y = ln|y| + C1
2. Правую сторону: ∫xdx = (1/2)x² + C2

Объединим оба интеграла:

ln|y| = (1/2)x² + C

Теперь возведем обе стороны в степень, чтобы избавиться от логарифма:

|y| = e^((1/2)x² + C)

Так как e^C - это просто константа, обозначим её как K:

y = K * e^(1/2 * x²)

Теперь у нас есть общее решение. Теперь найдем частное решение, используя начальные условия: x = 1, y = 0.

Подставим эти значения в общее решение:

0 = K * e^(1/2 * 1²)

Это уравнение будет равно нулю только в том случае, если K = 0. Таким образом, частное решение будет:

y = 0

Теперь проверим, подходит ли это решение под начальные условия:

При x = 1, y = 0 - это условие выполняется.

Таким образом, частное решение уравнения xdx = dy с заданными условиями:

y = 0