Найдите общее решение уравнения y' – y / x = xcos2x

1. y = Cx + xsin2x / 2
2. y = (sin2x + C) ⋅ 1/x
3. y = (−1/2 ⋅ sin2x + C) ⋅ 1/x
4. y = 1 / (2x) ⋅ sin2x

Другие предметы Колледж Методы решения дифференциальных уравнений высшая математика решение уравнения колледж Дифференциальные уравнения математический анализ методы решения интегралы y' – y / x = xcos2x общее решение математические задачи Новый

Для решения уравнения y' – y / x = xcos2x, начнем с того, что это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем решить его с помощью метода интегрирующего множителя.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Уравнение можно записать в следующем виде:

y' - (1/x)y = xcos(2x).

Шаг 2: Нахождение интегрирующего множителя

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx),

где P(x) = -1/x.

Таким образом, вычисляем интеграл:

• ∫(-1/x) dx = -ln|x|.
• Следовательно, μ(x) = e^(-ln|x|) = 1/x.

Шаг 3: Умножение уравнения на интегрирующий множитель

Теперь умножим все уравнение на 1/x:

(1/x)y' - (1/x^2)y = cos(2x).

Шаг 4: Преобразование левой части уравнения

Левая часть уравнения теперь представляет собой производную от произведения:

(d/dx)(y/x) = cos(2x).

Шаг 5: Интегрирование обеих сторон

Интегрируем обе стороны:

∫(d/dx)(y/x) dx = ∫cos(2x) dx.

Слева получаем:

y/x = (1/2)sin(2x) + C.

Шаг 6: Выражение y

Умножим обе стороны на x:

y = x((1/2)sin(2x) + C).

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

y = (1/2) x sin(2x) + Cx,

где C - произвольная константа.

Шаг 7: Проверка решения

Подставим найденное решение обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно верно. Вычисление производной и подстановка в уравнение подтвердят правильность решения.

Таким образом, общее решение уравнения y' – y / x = xcos(2x) является:

y = (1/2)x sin(2x) + Cx.